昭和大学
2015年 医学部 第3問
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次の各問に答えよ．
(1) 空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$がある．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ \ \ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
$(1$-$2)$ \ \ $\cos \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．
$(1$-$3)$ \ \ $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2) $\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{3x} \right)^9$の展開式における$\displaystyle \frac{1}{x}$の係数を求めよ．
(3) 実数全体で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+5x^2+11}{x^2+2}$の最小値を求めよ．
(4) 曲線$y=\sqrt{2+|4x-2x^2|}$と直線$y=m(x+3)$が相異なる$4$個の交点をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．
(1) 空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$がある．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ \ \ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
$(1$-$2)$ \ \ $\cos \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．
$(1$-$3)$ \ \ $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2) $\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{3x} \right)^9$の展開式における$\displaystyle \frac{1}{x}$の係数を求めよ．
(3) 実数全体で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+5x^2+11}{x^2+2}$の最小値を求めよ．
(4) 曲線$y=\sqrt{2+|4x-2x^2|}$と直線$y=m(x+3)$が相異なる$4$個の交点をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．
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