次の各問に答えよ．
(1) $1$から$8$までの数字を$1$つずつ記した$8$個の球が袋の中に入っている．この袋から$1$個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を$3$回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った$3$個の数字のうち最大の数と最小の数の差を$R$とする．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ \ \ $R=1$となる確率を求めよ．
$(1$-$2)$ \ \ $R=4$となる確率を求めよ．
$(1$-$3)$ \ \ $R$の期待値を求めよ．
(2) $x$についての$2$次方程式$x^2+(\log_a 5)x+\log_5 a^2=0$が相異なる負の解をもつための定数$a$のとるべき値の範囲を求めよ．
(3) 行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array} \right)$とし，さらに，$A^2=B$および$B^2=A$を満たす行列$B$が存在するとする．ただし$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ \ \ 行列$A^3$を求めよ．
$(3$-$2)$ \ \ $a,\ b$の値を求めよ．