次の各問に答えよ．
(1) $(1$-$1)$ \ \ 連立不等式$600<2^{x+2}-2^x<900$を満たす自然数$x$を求めよ．
$(1$-$2)$ \ \ 連立不等式$21<\log_2 x^6<22$を満たす自然数$x$を求めよ．
(2) $(2$-$1)$ \ \ $0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\sqrt{3} \sin x-\cos x=a$が相異なる$2$つの解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(2$-$2)$ \ \ $2$次方程式$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$の$2$つの解を$\tan \alpha$，$\tan \beta$とするとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha+\beta<\pi$とする．
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}={120}^\circ$とし，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ \ \ $\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
$(3$-$2)$ \ \ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．