次の各問に答えよ．
(1) $0 \leqq x<2\pi$のとき，次の不等式を解け． \[ 4 \sin^2 x+(2-2 \sqrt{2}) \cos x+\sqrt{2}-4 \geqq 0 \]
(2) $\{a_n\} \ \ (n \geqq 1)$は初項$3$，公差$4$の等差数列，$\{b_m\} \ \ (m \geqq 1)$は初項$1000$，公差$-5$の等差数列とする．
(ⅰ) $2$つの等差数列の共通項の個数を求めよ．
(ⅱ) $2$つの等差数列の共通項の総和を求めよ．
(3) $3$人がじゃんけんをして，$1$人だけ勝者を決める．$3$人はそれぞれグー，チョキ，パーを同じ確率で出すとする．勝者がいない場合は再びじゃんけんをする．勝者が$2$人の場合はその$2$人でじゃんけんをする．$2$人でじゃんけんをしたとき，勝者がいない場合は再びその$2$人でじゃんけんをする．
(ⅰ) $1$回目のじゃんけんで勝者がいない確率を求めよ．
(ⅱ) $2$回じゃんけんをしても，勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
(ⅲ) $n$は正の整数とする．$n$回じゃんけんを続けても勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．