$2$つの$2$次曲線$C_1:y=x^2$，$C_2:y^2=x$がある．次の各問に答えよ．
(1) $C_1$，$C_2$のいずれにも接する直線の方程式を求めよ．
(2) $C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引けるような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3) $C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．このような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4) $C_1$上の相異なる$2$点$\mathrm{Q}_1(q_1,\ {q_1}^2)$，$\mathrm{Q}_2(q_2,\ {q_2}^2)$について，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$が$C_2$と接するための条件を求めよ．
(5) $C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．いま，その$2$本の接線と$C_1$との交点のうち，$\mathrm{P}$以外の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$および$\mathrm{Q}_2$とする．このとき，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$は再び$C_2$と接することを示せ．