北海道薬科大学
2016年 薬学部 第3問
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![食塩水が100gある.これから20gを取って捨てた後に濃度が10%の食塩水を20g加える.食塩水の初めの濃度を20%として,この操作をn回(n=1,2,3,・・・)繰り返した後の食塩水に含まれる食塩の量をx_ngとする.ただし,log_{10}2=0.3010とする.(1)x_1は[アイ]である.(2)x_{n+1}=\frac{[ウ]}{[エ]}x_n+[オ]が成り立つ.この式をx_{n+1}-p=q(x_n-p)とおくと,定数p,qの値はp=[カキ],q=\frac{[ク]}{[ケ]}となる.これよりx_n=[コサ]+[シス](\frac{[セ]}{[ソ]})^nが得られる.(3)食塩水の濃度を11%以下にするには,この操作を少なくとも[タチ]回繰り返す必要がある.](./thumb/34/2227/2016_3.png)
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食塩水が$100 \, \mathrm{g}$ある.これから$20 \, \mathrm{g}$を取って捨てた後に濃度が$10 \, \%$の食塩水を$20 \, \mathrm{g}$加える.食塩水の初めの濃度を$20 \, \%$として,この操作を$n$回($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)繰り返した後の食塩水に含まれる食塩の量を$x_n \, \mathrm{g}$とする.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
(1) $x_1$は$\fbox{アイ}$である.
(2) $\displaystyle x_{n+1}=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}x_n+\fbox{オ}$が成り立つ.この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと,定数$p,\ q$の値は \[ p=\fbox{カキ},\quad q=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \] となる.これより \[ x_n=\fbox{コサ}+\fbox{シス} \left( \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \right)^n \] が得られる.
(3) 食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには,この操作を少なくとも$\fbox{タチ}$回繰り返す必要がある.
(1) $x_1$は$\fbox{アイ}$である.
(2) $\displaystyle x_{n+1}=\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}x_n+\fbox{オ}$が成り立つ.この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと,定数$p,\ q$の値は \[ p=\fbox{カキ},\quad q=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \] となる.これより \[ x_n=\fbox{コサ}+\fbox{シス} \left( \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \right)^n \] が得られる.
(3) 食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには,この操作を少なくとも$\fbox{タチ}$回繰り返す必要がある.
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