奈良県立医科大学
2011年 医学部 第4問
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![xy平面において原点O(0,0)を中心とする半径1の円をSとし,円Sの任意の点Pに対して,点Pにおける円Sの接線をL(P)とおく.A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array})を全ての成分が実数からなる2行2列の行列とし,Aによって定まるxy平面の一次変換(\begin{array}{c}x´\y´\end{array})=A(\begin{array}{c}x\y\end{array})を\varphiとおく.このとき,円Sの任意の点Pに対して円Sの点Qが存在し,接線L(P)のいかなる点も\varphiによって接線L(Q)の点に移されると仮定する.(1)円Sの点Pの座標を(s,t)として,接線L(P)の方程式を求めよ.(2)行列Aは逆行列を持つことを証明せよ.(3)円Sの点Qは円Sの点Pにより一意的に定まることを示し,点Qの座標(u,v)を点Pの座標(s,t)及び行列Aの成分a,b,c,dを用いて表示せよ.(4)xy平面の一次変換\varphiは,原点O(0,0)を中心とする回転か,または原点O(0,0)を通るある直線ℓを対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ.](./thumb/598/1652/2011_4.png)
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$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし,円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して,点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく.
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし,$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく.このとき,円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し,接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する.
(1) 円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として,接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ.
(2) 行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ.
(3) 円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し,点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ.
(4) $xy$平面の一次変換$\varphi$は,原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か,または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ.
(1) 円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として,接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ.
(2) 行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ.
(3) 円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し,点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ.
(4) $xy$平面の一次変換$\varphi$は,原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か,または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ.
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![](./thumb/505/2612/2011_3s.png)
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