関数$f(x)$を， \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x+1 & \displaystyle \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \\ 2x+\sin x & \displaystyle \left( x \geqq \frac{\pi}{2} \right) \phantom{\frac{\fbox{ア}}{2}} \end{array} \right. \] と定め，関数$g(x)$を，$g(x)=f(2x)-2f(x) \ \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$と定める．
(1) 関数$g(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．
(2) 曲線$C:y=g(x)$の概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(3) 区間$[0,\ 2\pi]$で，曲線$C$と$x$軸の間にある部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．