徳島大学
2014年 医(保健)・工学部 第2問
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![四面体OABCにおいてベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとする.|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=1,ベクトルa・ベクトルb=2/3が成り立つとき,ベクトルa・ベクトルc=α,ベクトルb・ベクトルc=βとして次の問いに答えよ.(1)s,tを実数としてベクトルOH=sベクトルa+tベクトルbと表される点Hを,ベクトルCHがベクトルaおよびベクトルbと垂直となるようにとる.このとき,α,βをs,tの式で表せ.(2)三角形ABCの重心をGとする.(1)の点Hに対して,ベクトルHG=1/3ベクトルcとなるとき,α,βの値を求めよ.(3)α,βが(2)で求めた値をとるとき,|ベクトルCH|の値を求めよ.](./thumb/661/2831/2014_2.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$,$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{2}{3}$が成り立つとき,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\alpha$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\beta$として次の問いに答えよ.
(1) $s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を,$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる.このとき,$\alpha$,$\beta$を$s,\ t$の式で表せ.
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき,$\alpha$,$\beta$の値を求めよ.
(3) $\alpha$,$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき,$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ.
(1) $s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を,$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる.このとき,$\alpha$,$\beta$を$s,\ t$の式で表せ.
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき,$\alpha$,$\beta$の値を求めよ.
(3) $\alpha$,$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき,$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ.
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