信州大学
2012年 文系 第1問
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![下図のように,x軸,y軸,z軸上に辺があり,一辺の長さが3である立方体がある.点A(0,0,3),B(3,0,2),C(3,3,1)を通る平面で立方体を切断したときの切り口を四角形ABCDとする.このとき,次の問に答えよ.\begin{center}\setlength\unitlength{1truecm}\begin{picture}(10,9)(0,0)\put(3,3){\vector(0,1){5}}\put(3,3){\vector(-1,-1){2.5}}\put(3,3){\vector(1,0){6}}\put(2,2){\line(1,0){4}}\put(2,5.5){\line(1,0){4}}\put(2,2){\line(0,1){3.5}}\put(6,2){\line(0,1){3.5}}\put(2,5.5){\line(1,1){1}}\put(3,6.5){\line(1,0){4}}\put(6,5.5){\line(1,1){1}}\put(6,2){\line(1,1){1}}\put(7,3){\line(0,1){3.5}}\put(2,4.5){\line(1,2){1}}\put(2,4.5){\line(5,-2){4}}\put(6,2.9){\line(1,2){1}}\put(3,6.5){\line(5,-2){4}}%\multiput(1,0)(0,0.20){10}{\line(0,1){0.1}}\put(2.5,6.5){A}\put(1.5,4){B}\put(5.5,2.5){C}\put(7.2,5){D}\put(2.9,2.5){O}\put(5.8,5.7){P}\put(1,0.6){x}\put(8.7,2.5){y}\put(2.5,7.8){z}\end{picture}\end{center}(1)ベクトルBAとベクトルBCのなす角をθとするとき,cosθの値を求めよ.(2)点P(3,3,3)から四角形ABCDに下ろした垂線の足をHとする.このときベクトルBH=sベクトルBA+tベクトルBCを満たすs,tを求めよ.(3)点Pを頂点とし,四角形ABCDを底面とする四角すいの体積を求めよ.](./thumb/377/1598/2012_1.png)
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下図のように,$x$軸,$y$軸,$z$軸上に辺があり,一辺の長さが3である立方体がある.点A$(0,\ 0,\ 3)$,B$(3,\ 0,\ 2)$,C$(3,\ 3,\ 1)$を通る平面で立方体を切断したときの切り口を四角形ABCDとする.このとき,次の問に答えよ.
\begin{center}
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{picture}(10,9)(0,0)
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%\multiput(1,0)(0,0.20){10}{\line(0,1){0.1}}
\put(2.5,6.5){A}
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\put(5.5,2.5){C}
\put(7.2,5){D}
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\put(5.8,5.7){P}
\put(1,0.6){x}
\put(8.7,2.5){y}
\put(2.5,7.8){z}
\end{picture}
\end{center}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(2) 点P$(3,\ 3,\ 3)$から四角形ABCDに下ろした垂線の足をHとする.このとき \[ \overrightarrow{\mathrm{BH}}=s \overrightarrow{\mathrm{BA}}+t \overrightarrow{\mathrm{BC}} \] を満たす$s,\ t$を求めよ.
(3) 点Pを頂点とし,四角形ABCDを底面とする四角すいの体積を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(2) 点P$(3,\ 3,\ 3)$から四角形ABCDに下ろした垂線の足をHとする.このとき \[ \overrightarrow{\mathrm{BH}}=s \overrightarrow{\mathrm{BA}}+t \overrightarrow{\mathrm{BC}} \] を満たす$s,\ t$を求めよ.
(3) 点Pを頂点とし,四角形ABCDを底面とする四角すいの体積を求めよ.
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