立教大学
2013年 経済(経済、会計)・観光(観光)・コミュ(スポーツ) 第1問
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次の空欄$\fbox{ア}$~$\fbox{ケ}$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1) 等差数列$\{a_n\}$において,初項から第$10$項までの和が$-8$,初項から第$21$項までの和が$14$である.この数列の初項$a_1$は$\fbox{ア}$で,公差は$\fbox{イ}$である.
(2) $2 \log_3 4+\log_9 5-\log_3 8=\log_3 x$の解は$x=\fbox{ウ}$である.
(3) $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$のとき,$x^3+y^3$の値は$\fbox{エ}$である.
(4) $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$となる自然数の組$(x,\ y)$で$x \geqq y$を満たすものをすべてあげると$(x,\ y)=\fbox{オ}$である.
(5) 正の数$k$と角$\theta$に対して,$\sin \theta,\ \cos \theta$が$2$次方程式$5x^2-kx+2=0$の解となるような$k$の値は$\fbox{カ}$である. 三角形$\mathrm{ABC}$において,$\displaystyle \frac{\sin A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{1+\sqrt{3}}$であるとき,$\cos C$の値は$\fbox{キ}$である. 整式$P(x)$を$2x^2+9x-5$で割ると余りが$3x+5$であり,$x-2$で割ると余りが$-3$であるとき,$P(x)$を$x^2+3x-10$で割ると,余りは$\fbox{ク}$である. 座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 2,\ 1)$,$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 4)$,$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 1)$,$\mathrm{D}(x,\ y,\ z)$がある.これら$4$点が同一平面上にあり,かつこれらを頂点とする四角形がひし形であるのは,$(x,\ y,\ z)=\fbox{ケ}$のときである.
(1) 等差数列$\{a_n\}$において,初項から第$10$項までの和が$-8$,初項から第$21$項までの和が$14$である.この数列の初項$a_1$は$\fbox{ア}$で,公差は$\fbox{イ}$である.
(2) $2 \log_3 4+\log_9 5-\log_3 8=\log_3 x$の解は$x=\fbox{ウ}$である.
(3) $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$のとき,$x^3+y^3$の値は$\fbox{エ}$である.
(4) $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$となる自然数の組$(x,\ y)$で$x \geqq y$を満たすものをすべてあげると$(x,\ y)=\fbox{オ}$である.
(5) 正の数$k$と角$\theta$に対して,$\sin \theta,\ \cos \theta$が$2$次方程式$5x^2-kx+2=0$の解となるような$k$の値は$\fbox{カ}$である. 三角形$\mathrm{ABC}$において,$\displaystyle \frac{\sin A}{\sqrt{2}}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{1+\sqrt{3}}$であるとき,$\cos C$の値は$\fbox{キ}$である. 整式$P(x)$を$2x^2+9x-5$で割ると余りが$3x+5$であり,$x-2$で割ると余りが$-3$であるとき,$P(x)$を$x^2+3x-10$で割ると,余りは$\fbox{ク}$である. 座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 2,\ 1)$,$\mathrm{B}(-1,\ -1,\ 4)$,$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 1)$,$\mathrm{D}(x,\ y,\ z)$がある.これら$4$点が同一平面上にあり,かつこれらを頂点とする四角形がひし形であるのは,$(x,\ y,\ z)=\fbox{ケ}$のときである.
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