慶應義塾大学
2014年 商学部 第2問
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放物線$p_1:y=x^2-4x+5$と,その上の点$\mathrm{P}(4,\ 5)$を考える.
(1) 傾きが$-2$で,放物線$p_1$に接する直線$\ell$の方程式は \[ y=-2x+\fbox{$17$} \] であり,放物線$p_1$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標は$(\fbox{$18$},\ \fbox{$19$})$である.
(2) $2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通り,頂点の$y$座標が$6$であるような放物線の方程式は \[ y=-x^2+\fbox{$20$}x-\fbox{$21$} \] または \[ y=-\frac{1}{\fbox{$22$}}(x^2-\fbox{$23$}\fbox{$24$}x-\fbox{$25$}) \] である.
$(2)$で求めた放物線のうち,方程式$y=-x^2+\fbox{$20$}x-\fbox{$21$}$で定まるものを$p_2$とし,放物線$p_2$の頂点を$\mathrm{R}$とする.
(3) $\displaystyle \cos \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\sqrt{\fbox{$26$}\fbox{$27$}}}{\fbox{$28$}\fbox{$29$}}$であり,三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$\fbox{$30$}$である.
(4) $2$つの放物線$p_1$と$p_2$で囲まれた図形の面積は$\fbox{$31$}$である.
(1) 傾きが$-2$で,放物線$p_1$に接する直線$\ell$の方程式は \[ y=-2x+\fbox{$17$} \] であり,放物線$p_1$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標は$(\fbox{$18$},\ \fbox{$19$})$である.
(2) $2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通り,頂点の$y$座標が$6$であるような放物線の方程式は \[ y=-x^2+\fbox{$20$}x-\fbox{$21$} \] または \[ y=-\frac{1}{\fbox{$22$}}(x^2-\fbox{$23$}\fbox{$24$}x-\fbox{$25$}) \] である.
$(2)$で求めた放物線のうち,方程式$y=-x^2+\fbox{$20$}x-\fbox{$21$}$で定まるものを$p_2$とし,放物線$p_2$の頂点を$\mathrm{R}$とする.
(3) $\displaystyle \cos \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\sqrt{\fbox{$26$}\fbox{$27$}}}{\fbox{$28$}\fbox{$29$}}$であり,三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$\fbox{$30$}$である.
(4) $2$つの放物線$p_1$と$p_2$で囲まれた図形の面積は$\fbox{$31$}$である.
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