慶應義塾大学
2012年 経済学部 第3問
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数列$\{a_n\}$は次の$3$つの条件
\[ \begin{array}{ll}
(\mathrm{A}) & a_1=1 \\
(\mathrm{B}) & a_{n+1}^2 - 6a_{n+1}a_n + 8a_n^2 = 0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\cdots) \\
(\mathrm{C}) & a_{n+1} > 3 a_n \quad (n=1,\ 2.\ 3,\cdots)
\end{array} \]
を満たしている.以下の文は$\{a_n\}$の一般項を推測する記述である. \\
条件$(\mathrm{A})$と,条件$(\mathrm{B})$において$n=\fbox{(31)}$とおいた式から,$a_2$は$2$次方程式
\[ x^2 - \fbox{(32)}x + \fbox{(33)} = 0 \]
の解の$1$つである.この方程式の解のうち小さいほうは\fbox{(34)},大きいほうは\fbox{(35)}である.これらの候補のうち条件$(\mathrm{C})$において$n=1$とした式を満たすものを選ぶと,$a_2=\fbox{(36)}$である.同様に,$a_3=\fbox{(37)}\fbox{(38)},\ a_4=\fbox{(39)}\fbox{(40)}$となるので,一般項は$a_n=\fbox{(41)}^{n-1}$と推測される.
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