南山大学
2013年 外国語学部 第1問
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$\fbox{}$の中に答を入れよ.
(1) $\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=\fbox{ア}$であり,$x^3-5x^2+7x-2=\fbox{イ}$である.
(2) 定義域を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$とするとき,$f(x)=\cos 3x+\sin 3x$の最大値は$\fbox{ウ}$であり,最小値は$\fbox{エ}$である.
(3) ある工業製品の価格が前年比で毎年$10 \;\%$ずつ下落している.現在の価格が$1000$円であるならば,$3$年後の価格は$\fbox{オ}$円となり,価格がはじめて$200$円を下回るのは$\fbox{カ}$年後である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とし,解答欄には整数値を入れよ.
(4) 曲線$y=x^3+1$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接している.また,曲線$y=x^2+ax+1 \ \ (a<0)$も$\ell$と$\mathrm{A}$で接している.このとき,$a=\fbox{キ}$であり,$\ell$の方程式は$\fbox{ク}$である.
(5) 定数$a$に対して,$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+x-6$であるとき,$f(x)=\fbox{ケ}$,$a=\fbox{コ}$である.
(1) $\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=\fbox{ア}$であり,$x^3-5x^2+7x-2=\fbox{イ}$である.
(2) 定義域を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$とするとき,$f(x)=\cos 3x+\sin 3x$の最大値は$\fbox{ウ}$であり,最小値は$\fbox{エ}$である.
(3) ある工業製品の価格が前年比で毎年$10 \;\%$ずつ下落している.現在の価格が$1000$円であるならば,$3$年後の価格は$\fbox{オ}$円となり,価格がはじめて$200$円を下回るのは$\fbox{カ}$年後である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とし,解答欄には整数値を入れよ.
(4) 曲線$y=x^3+1$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接している.また,曲線$y=x^2+ax+1 \ \ (a<0)$も$\ell$と$\mathrm{A}$で接している.このとき,$a=\fbox{キ}$であり,$\ell$の方程式は$\fbox{ク}$である.
(5) 定数$a$に対して,$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+x-6$であるとき,$f(x)=\fbox{ケ}$,$a=\fbox{コ}$である.
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