静岡大学
2016年 理学部（数） 第4問
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$\alpha$を絶対値が$1$の複素数とし，等式$z=\alpha^2 \overline{z}$を満たす複素数$z$の表す複素数平面上の図形を$S$とする．ただし，$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す．このとき，次の各問に答えよ．
(1) $z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと，$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ．また，このことを用いて，図形$S$は原点を通る直線であることを示せ．
(2) 複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする．このとき，$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ．
(1) $z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと，$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ．また，このことを用いて，図形$S$は原点を通る直線であることを示せ．
(2) 複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする．このとき，$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ．
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