静岡大学
2016年 理学部（数） 第3問
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次の各問に答えよ．
(1) $x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ \ (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3) 定積分$I_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する． \[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \] ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ． \[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (\ast) \]
(4) 等式$(\ast)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1) $x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ \ (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3) 定積分$I_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する． \[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \] ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ． \[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (\ast) \]
(4) 等式$(\ast)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
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