静岡大学
2016年 理（物・化）・工・情報 第4問
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$i$を虚数単位とするとき，次の各問に答えよ．
(1) 複素数$c=1+i$について，$c$と共役な複素数$\overline{c}$および$|c|^2$をそれぞれ求めよ．
(2) 複素数$z$が$|z|=1$を満たすとする．このとき，$\displaystyle z+\frac{1}{z}$が実数であることを証明せよ．
(3) $\alpha,\ \beta$を複素数として$\alpha$の実部と虚部がともに正であるとする．また，$|\alpha|=|\beta|=1$とする．複素数$\displaystyle i \alpha,\ \frac{i}{\alpha},\ \beta$で表される複素数平面上の$3$点が，ある正三角形の$3$頂点であるとき，$\alpha,\ \beta$をそれぞれ求めよ．
(1) 複素数$c=1+i$について，$c$と共役な複素数$\overline{c}$および$|c|^2$をそれぞれ求めよ．
(2) 複素数$z$が$|z|=1$を満たすとする．このとき，$\displaystyle z+\frac{1}{z}$が実数であることを証明せよ．
(3) $\alpha,\ \beta$を複素数として$\alpha$の実部と虚部がともに正であるとする．また，$|\alpha|=|\beta|=1$とする．複素数$\displaystyle i \alpha,\ \frac{i}{\alpha},\ \beta$で表される複素数平面上の$3$点が，ある正三角形の$3$頂点であるとき，$\alpha,\ \beta$をそれぞれ求めよ．
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