$1$つのコマと下の図のような$3$つのマス目$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．コマが$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$にあるとき，さいころを投げて出た目の数だけ$\mathrm{C}$の方向にコマを進める．ただし，コマが途中で$\mathrm{C}$や$\mathrm{A}$に来たら，逆の方向に折り返して進める．これを$1$回の操作とする．$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$で止まった場合はその止まったマス目から操作を繰り返し，$\mathrm{C}$に止まった場合は操作を終了する．例えば，$\mathrm{A}$にコマがあり$3$の目が出たら$\mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B}$とコマを進め，続けて操作を繰り返したとき$5$の目が出たら$\mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C}$と進めて操作を終了する．
最初にコマを$\mathrm{A}$に置いて操作を始めるとき，次の問いに答えよ． \begin{center} \begin{tabular}{|p{10mm}|p{10mm}|p{10mm}|} \hline \hfil $\mathrm{A}$ \hfil & \hfil $\mathrm{B}$ \hfil & \hfil $\mathrm{C}$ \hfil \\ \hline \end{tabular} \end{center}
(1) $1$回の操作で終了する確率$p_1$を求めよ．
(2) $2$回の操作で終了する確率$p_2$を求めよ．
(3) $n$回の操作で終了する確率$p_n$を$n$を用いて表せ．