静岡大学
2015年 教育・農・理（生物，地球） 第1問
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次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$がある．
$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},\quad 3a_{n+1}=a_n-2a_{n+1}a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n+\frac{n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$である．
(1) $\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},\quad 3a_{n+1}=a_n-2a_{n+1}a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n+\frac{n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$である．
(1) $\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
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