静岡大学
2014年 教育・農・理（生物，地球） 第4問
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$a$を定数とする．$2$次関数$f(x)$は等式
\[ f(x)=6(a+1)x^2-12x \int_0^1 f(t) \, dt+5a-2 \]
を満たすとする．このとき，$2$次関数$f(x)$と$3$次関数$g(x)=-4x^3+f(x)$について，次の問いに答えよ．
(1) 定積分$\displaystyle \int_0^1 f(t) \, dt$を$a$を用いて表せ．
(2) $3$次関数$g(x)$の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．
(3) $3$次方程式$g(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(1) 定積分$\displaystyle \int_0^1 f(t) \, dt$を$a$を用いて表せ．
(2) $3$次関数$g(x)$の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．
(3) $3$次方程式$g(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
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