静岡大学
2014年 理学部（数） 第3問
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$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする．次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する．$a_1=0$とし，第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2) $k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4) 一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．
(1) $f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2) $k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3) $a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4) 一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．
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