静岡大学
2013年 理（物・化）・工・情報 第2問
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次の問いに答えよ．
(1) $n$を自然数とするとき，ある自然数$a$と$b$を用いて， \[ (2+\sqrt{3})^n=a+b \sqrt{3},\quad (2-\sqrt{3})^n=a-b \sqrt{3} \] とかけることを，数学的帰納法を使って示せ．
(2) (1)の$a$と$b$について，$a^2-3b^2=1$が成り立つことを示せ．
(3) $n$を自然数とするとき，ある自然数$m$を用いて， \[ (2+\sqrt{3})^n=\sqrt{m}+\sqrt{m-1},\quad (2-\sqrt{3})^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} \] とかけることを示せ．
(1) $n$を自然数とするとき，ある自然数$a$と$b$を用いて， \[ (2+\sqrt{3})^n=a+b \sqrt{3},\quad (2-\sqrt{3})^n=a-b \sqrt{3} \] とかけることを，数学的帰納法を使って示せ．
(2) (1)の$a$と$b$について，$a^2-3b^2=1$が成り立つことを示せ．
(3) $n$を自然数とするとき，ある自然数$m$を用いて， \[ (2+\sqrt{3})^n=\sqrt{m}+\sqrt{m-1},\quad (2-\sqrt{3})^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1} \] とかけることを示せ．
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