滋賀県立大学
2010年 環境科学部・工学部 第3問
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$a,\ b,\ p,\ q$を実数として，未知数$x$の方程式
\[ p(x^2+ax+b) +x-q=0 \hfill \cdots (\ast) \]
を考える．
(1) $p$がどのような値であっても方程式$(\ast)$がつねに実数解をもつためには，$a^2-4b \geqq 0$が必要条件であることを示せ．
(2) $a^2-4b \geqq 0$とし，$\alpha,\ \beta \ (\alpha \leqq \beta)$を方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの実数解とする．このとき，$p$がどのような値であっても方程式$(\ast)$がつねに実数解をもつのは$q$がどのような範囲$R$にあるときか答えよ．
(3) $a^2-4b \geqq 0$で$q$が$(2)$で求めた範囲$R$にあるとき，方程式$(\ast)$は範囲$R$に少なくとも$1$つの解をもつことを示せ．
(1) $p$がどのような値であっても方程式$(\ast)$がつねに実数解をもつためには，$a^2-4b \geqq 0$が必要条件であることを示せ．
(2) $a^2-4b \geqq 0$とし，$\alpha,\ \beta \ (\alpha \leqq \beta)$を方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの実数解とする．このとき，$p$がどのような値であっても方程式$(\ast)$がつねに実数解をもつのは$q$がどのような範囲$R$にあるときか答えよ．
(3) $a^2-4b \geqq 0$で$q$が$(2)$で求めた範囲$R$にあるとき，方程式$(\ast)$は範囲$R$に少なくとも$1$つの解をもつことを示せ．
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