関西学院大学
2012年 文系学部 第1問
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次の文章中の$\fbox{}$に適する式または数値を記入せよ.
(1) $xy$平面における放物線 \[ y=x^2-4x+1 \] は放物線$y=x^2$を$x$軸方向に$\fbox{ア}$,$y$軸方向に$\fbox{イ}$だけ平行移動することによって得られる.関数 \[ y=x^2-4x+1 \quad (a \leqq x \leqq a+1) \] の最小値を$m$とおく.ただし,$a$は実数である.$a<1$の場合は$m=\fbox{ウ}$であり,$1 \leqq a \leqq 2$の場合は$m=\fbox{エ}$であり,$a>2$の場合は$m=\fbox{オ}$である.
(2) ${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数を求めよう.二項定理により \[ \begin{array}{lll} {(2x^2-xy-3y^2)}^5 &=& \displaystyle\left\{ (2x^2-xy)-3y^2 \right\}^5 \\ &=& (2x^2-xy)^5+5(2x^2-xy)^4(-3y^2) \\ & & +\fbox{カ}(2x^2-xy)^3(-3y^2)^2+10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3 \\ & & +5(2x^2-xy)(-3y^2)^4 +(-3y^2)^5 \end{array} \] が成り立つ.$(2x^2-xy)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$\fbox{キ}$であり,$5(2x^2-xy)^4(-3y^2)$の展開式における$x^5y^5$の係数は$\fbox{ク}$である.さらに,$\fbox{カ}(2x^2-xy)^3(-3y^2)^2$の展開式における$x^5y^5$の係数は$\fbox{ケ}$である.また,$10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3+5(2x^2-xy)(-3y^2)^4+(-3y^2)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$0$である.よって${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$\fbox{コ}$である.
(1) $xy$平面における放物線 \[ y=x^2-4x+1 \] は放物線$y=x^2$を$x$軸方向に$\fbox{ア}$,$y$軸方向に$\fbox{イ}$だけ平行移動することによって得られる.関数 \[ y=x^2-4x+1 \quad (a \leqq x \leqq a+1) \] の最小値を$m$とおく.ただし,$a$は実数である.$a<1$の場合は$m=\fbox{ウ}$であり,$1 \leqq a \leqq 2$の場合は$m=\fbox{エ}$であり,$a>2$の場合は$m=\fbox{オ}$である.
(2) ${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数を求めよう.二項定理により \[ \begin{array}{lll} {(2x^2-xy-3y^2)}^5 &=& \displaystyle\left\{ (2x^2-xy)-3y^2 \right\}^5 \\ &=& (2x^2-xy)^5+5(2x^2-xy)^4(-3y^2) \\ & & +\fbox{カ}(2x^2-xy)^3(-3y^2)^2+10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3 \\ & & +5(2x^2-xy)(-3y^2)^4 +(-3y^2)^5 \end{array} \] が成り立つ.$(2x^2-xy)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$\fbox{キ}$であり,$5(2x^2-xy)^4(-3y^2)$の展開式における$x^5y^5$の係数は$\fbox{ク}$である.さらに,$\fbox{カ}(2x^2-xy)^3(-3y^2)^2$の展開式における$x^5y^5$の係数は$\fbox{ケ}$である.また,$10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3+5(2x^2-xy)(-3y^2)^4+(-3y^2)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$0$である.よって${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$\fbox{コ}$である.
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