大阪府立大学
2016年 文系 第4問
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正の実数$a$に対して,$y=ax^2$のグラフを$C_1$,$\displaystyle y=\frac{a^2-1}{a}x^2+\frac{2}{a}x-\frac{1}{a}$のグラフを$C_2$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $C_1$と$C_2$の共有点は点$(1,\ a)$のみであることを示せ.
(2) $C_2$と$x$軸の$0<x<1$の部分との交点は,点$\displaystyle \left( \frac{1}{a+1},\ 0 \right)$のみであることを示せ.
(3) $C_1$の$0 \leqq x \leqq 1$の部分,$C_2$の$\displaystyle \frac{1}{a+1} \leqq x \leqq 1$の部分,および$x$軸の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{1}{a+1}$の部分とで囲まれる図形の面積を$S$とする.$S$を$a$を用いて表せ.
(4) $a$がすべての正の実数を動くとき,$(3)$で求めた面積$S$の最大値を求めよ.
(1) $C_1$と$C_2$の共有点は点$(1,\ a)$のみであることを示せ.
(2) $C_2$と$x$軸の$0<x<1$の部分との交点は,点$\displaystyle \left( \frac{1}{a+1},\ 0 \right)$のみであることを示せ.
(3) $C_1$の$0 \leqq x \leqq 1$の部分,$C_2$の$\displaystyle \frac{1}{a+1} \leqq x \leqq 1$の部分,および$x$軸の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{1}{a+1}$の部分とで囲まれる図形の面積を$S$とする.$S$を$a$を用いて表せ.
(4) $a$がすべての正の実数を動くとき,$(3)$で求めた面積$S$の最大値を求めよ.
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