お茶の水女子大学
2015年 理(数学科) 第4問
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$1$から$9$までの自然数のそれぞれに赤か青の色を付ける操作を考える.
(1) $X$をこれら$1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合とする.$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付けるとき,$X$に属するすべての数がすべて同じ色である確率を求めよ.
(2) 一般に,ある試行における$3$つの事象$A,\ B,\ C$について, \[ P(A \cup B \cup C) \leqq P(A)+P(B)+P(C) \] が成り立つことを示せ.ここで$P(A)$は事象$A$が起こる確率である.
(3) $1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合が$3$つある.それを$X,\ Y,\ Z$とする.$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付ける操作をしたとき,$X,\ Y,\ Z$のどれにも両方の色の数が含まれる確率が$0$ではないことを示せ.ただし,$X \cap Y$,$Y \cap Z$,$Z \cap X$は空集合とは限らない.
(1) $X$をこれら$1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合とする.$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付けるとき,$X$に属するすべての数がすべて同じ色である確率を求めよ.
(2) 一般に,ある試行における$3$つの事象$A,\ B,\ C$について, \[ P(A \cup B \cup C) \leqq P(A)+P(B)+P(C) \] が成り立つことを示せ.ここで$P(A)$は事象$A$が起こる確率である.
(3) $1$から$9$までの自然数のうちの相異なる$3$つの数からなる集合が$3$つある.それを$X,\ Y,\ Z$とする.$1$から$9$のそれぞれに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤か青の色を付ける操作をしたとき,$X,\ Y,\ Z$のどれにも両方の色の数が含まれる確率が$0$ではないことを示せ.ただし,$X \cap Y$,$Y \cap Z$,$Z \cap X$は空集合とは限らない.
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