宮崎大学
2015年 工学部 第3問
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座標平面上に点$\mathrm{P}$があり,次のルールにより,点$\mathrm{P}$は移動する.
$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から,$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み,その文字が
$a$のとき,点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し,
$b$のとき,点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し,
$c$のとき,点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する.
最初,点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする.この試行を,取り出した球を元に戻しながら,$5$回続けて行う.例えば,これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば,上のルールにより,点$\mathrm{P}$の位置の座標は, \[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \] と変化する.
このとき,次の各問に答えよ.
(1) $y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合,終了したときの位置の座標をすべて求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ.
(3) 点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$,$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ.
$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から,$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み,その文字が
$a$のとき,点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し,
$b$のとき,点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し,
$c$のとき,点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する.
最初,点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする.この試行を,取り出した球を元に戻しながら,$5$回続けて行う.例えば,これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば,上のルールにより,点$\mathrm{P}$の位置の座標は, \[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \] と変化する.
このとき,次の各問に答えよ.
(1) $y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合,終了したときの位置の座標をすべて求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ.
(3) 点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$,$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ.
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