お茶の水女子大学
2010年 理系 第2問
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次の問いに答えよ.
(1) 連立不等式 \[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \] で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ.
(2) $xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$,A$(a,\ b)$,B$(c,\ d)$に対し,OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は,$|\,ad-bc\,|$であることを示せ.
(3) 行列$\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc} s & t \\ u & v \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc} k & \ell \\ m & n \end{array} \biggr)$について \[ \biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc} s & t \\ u & v \end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc} k & \ell \\ m & n \end{array} \biggr) \] が成り立つとき, \[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \] を示せ.
(4) 実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし,正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき, \[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \] で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し,その面積を求めよ.
(1) 連立不等式 \[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \] で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ.
(2) $xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$,A$(a,\ b)$,B$(c,\ d)$に対し,OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は,$|\,ad-bc\,|$であることを示せ.
(3) 行列$\biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc} s & t \\ u & v \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc} k & \ell \\ m & n \end{array} \biggr)$について \[ \biggl( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc} s & t \\ u & v \end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc} k & \ell \\ m & n \end{array} \biggr) \] が成り立つとき, \[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \] を示せ.
(4) 実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし,正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき, \[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \] で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し,その面積を求めよ.
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