宮城教育大学
2015年 教育学部(中等数学) 第3問
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四面体$\mathrm{OABC}$において,辺$\mathrm{OA}$は平面$\mathrm{OBC}$に直交し,
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする.四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から,平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$,平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$,平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$,平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする.ここで,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$,$\mathrm{OBC}$,$\mathrm{OAC}$,$\mathrm{ABC}$上の点である.$3$つの線分$\mathrm{PD}$,$\mathrm{PE}$,$\mathrm{PF}$の長さは等しく,その長さを$R$とする.辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると,点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり,点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて,次の問に答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ.
(3) 線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき,$R$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ.
(3) 線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき,$R$の値を求めよ.
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