京都工芸繊維大学
2012年 工芸科学 第4問
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![pを自然数とし,rを1より大きい実数とする.数列a_n(n=1,2,3,・・・)は次の条件(i),(ii),(iii)をすべて満たしている.(i)a_n=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}}(n=1,2,3,・・・)(ii)a_2=p(iii)a_3≦13このとき,次の問いに答えよ.(1)すべての自然数nについて,a_{n+2}=pa_{n+1}-a_nが成り立つことを証明せよ.(2)pおよびrの値を求めよ.(3)mを自然数とする.2m個の数a_1,a_2,・・・,a_{2m}のうち,3の倍数であるものすべての和を求めよ.](./thumb/474/2608/2012_4.png)
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$p$を自然数とし,$r$を1より大きい実数とする.数列$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件$\tokeiichi,\ \tokeini,\ \tokeisan$をすべて満たしている.
$\tokeiichi$ \ \ $\displaystyle a_n=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\tokeini$ \ \ $a_2=p$
$\tokeisan$ \ \ $a_3 \leqq 13$
このとき,次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数$n$について,$a_{n+2}=pa_{n+1}-a_n$が成り立つことを証明せよ.
(2) $p$および$r$の値を求めよ.
(3) $m$を自然数とする.$2m$個の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{2m}$のうち,3の倍数であるものすべての和を求めよ.
$\tokeiichi$ \ \ $\displaystyle a_n=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\tokeini$ \ \ $a_2=p$
$\tokeisan$ \ \ $a_3 \leqq 13$
このとき,次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数$n$について,$a_{n+2}=pa_{n+1}-a_n$が成り立つことを証明せよ.
(2) $p$および$r$の値を求めよ.
(3) $m$を自然数とする.$2m$個の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{2m}$のうち,3の倍数であるものすべての和を求めよ.
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