星薬科大学
2010年 薬学部 第6問
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
$\displaystyle \{a_n\}:\frac{4}{1 \cdot 2},\ \frac{4}{2 \cdot 3},\ \frac{4}{3 \cdot 4},\ \frac{4}{4 \cdot 5},\ \cdots$
$\displaystyle \{b_n\}:\frac{9}{1 \cdot 2 \cdot 3},\ \frac{16}{2 \cdot 3 \cdot 4},\ \frac{23}{3 \cdot 4 \cdot 5},\ \frac{30}{4 \cdot 5 \cdot 6},\ \cdots$
として次の問いに答えよ.
(1) 各数列の一般項は$\displaystyle a_n=\frac{4}{n(n+1)},\ b_n=\frac{\fbox{} n+\fbox{}}{n(n+1)(n+2)}$である.
(2) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ T_n=\sum_{k=1}^n b_k$とすると, \[ S_n=\frac{\fbox{} n}{n+1},\quad T_n=\frac{\fbox{} n^2+\fbox{} n}{(n+1)(n+2)} \] である.
(3) $\displaystyle S_n-T_n<\frac{1}{4}$を満たす自然数$n$の最小値は$\fbox{}$である.
$\displaystyle \{a_n\}:\frac{4}{1 \cdot 2},\ \frac{4}{2 \cdot 3},\ \frac{4}{3 \cdot 4},\ \frac{4}{4 \cdot 5},\ \cdots$
$\displaystyle \{b_n\}:\frac{9}{1 \cdot 2 \cdot 3},\ \frac{16}{2 \cdot 3 \cdot 4},\ \frac{23}{3 \cdot 4 \cdot 5},\ \frac{30}{4 \cdot 5 \cdot 6},\ \cdots$
として次の問いに答えよ.
(1) 各数列の一般項は$\displaystyle a_n=\frac{4}{n(n+1)},\ b_n=\frac{\fbox{} n+\fbox{}}{n(n+1)(n+2)}$である.
(2) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ T_n=\sum_{k=1}^n b_k$とすると, \[ S_n=\frac{\fbox{} n}{n+1},\quad T_n=\frac{\fbox{} n^2+\fbox{} n}{(n+1)(n+2)} \] である.
(3) $\displaystyle S_n-T_n<\frac{1}{4}$を満たす自然数$n$の最小値は$\fbox{}$である.
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