長崎大学
2014年 経済・水産・環境科学部 第2問
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$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=5$,$\mathrm{BC}=7$,$\mathrm{CA}=6$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく.次の問いに答えよ.
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする.$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線は点$\mathrm{I}$で交わる.$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき,$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{BI}:\mathrm{ID}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\angle \mathrm{A}=\theta$とする.$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ.
(4) 実数$x,\ y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{b}+y \overrightarrow{c}$と表される点$\mathrm{P}$を考える.点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線上にあるとき,$x$と$y$が満たす関係式を求めよ.
(5) $\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする.辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線は点$\mathrm{O}$で交わる.$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とする.$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線は点$\mathrm{I}$で交わる.$\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき,$\mathrm{AD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{BI}:\mathrm{ID}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\angle \mathrm{A}=\theta$とする.$\cos \theta$と内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ.
(4) 実数$x,\ y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=x \overrightarrow{b}+y \overrightarrow{c}$と表される点$\mathrm{P}$を考える.点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線上にあるとき,$x$と$y$が満たす関係式を求めよ.
(5) $\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする.辺$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の垂直$2$等分線は点$\mathrm{O}$で交わる.$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
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