聖マリアンナ医科大学
2016年 医学部 第2問
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数列$\{a_n\}$は等差数列で,初項と公差はともに正の整数$a$である.以下の$\fbox{}$にあてはまる適切な数,または式を記入しなさい.
(1) この数列の一般項は,$a_n=\fbox{}$となる.ここで,$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}$を$a,\ k$を用いた式で表すと$\fbox{}$となる.
(2) この数列が,ある番号$k \ \ (k \geqq 5)$について$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}=2016$を満たしているとする.
(ⅰ) $2016$を素因数分解すると$\fbox{}$となる.これを用いて,$a,\ k$を求めると,$(a,\ k)=(\fbox{},\ \fbox{})$となる.
(ⅱ) この数列の連続した$3$項$a_t,\ a_{t+1},\ a_{t+2}$が \[ {a_t}^3+{a_{t+1}}^3={a_{t+2}}^3-2 \] を満たすとき,$a_{t+1}$の値は$\fbox{}$である.
(ⅲ) この数列の連続した$11$項$a_s,\ a_{s+1},\ \cdots,\ a_{s+10}$が \[ {a_{s}}^2+{a_{s+1}}^2+{a_{s+2}}^2+{a_{s+3}}^2+{a_{s+4}}^2+{a_{s+5}}^2={a_{s+6}}^2+{a_{s+7}}^2+{a_{s+8}}^2+{a_{s+9}}^2+{a_{s+10}}^2 \] を満たすとき,$a_{s+5}$の値は$\fbox{}$である.
(1) この数列の一般項は,$a_n=\fbox{}$となる.ここで,$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}$を$a,\ k$を用いた式で表すと$\fbox{}$となる.
(2) この数列が,ある番号$k \ \ (k \geqq 5)$について$a_{k-4}a_{k-1}a_k a_{k+1}=2016$を満たしているとする.
(ⅰ) $2016$を素因数分解すると$\fbox{}$となる.これを用いて,$a,\ k$を求めると,$(a,\ k)=(\fbox{},\ \fbox{})$となる.
(ⅱ) この数列の連続した$3$項$a_t,\ a_{t+1},\ a_{t+2}$が \[ {a_t}^3+{a_{t+1}}^3={a_{t+2}}^3-2 \] を満たすとき,$a_{t+1}$の値は$\fbox{}$である.
(ⅲ) この数列の連続した$11$項$a_s,\ a_{s+1},\ \cdots,\ a_{s+10}$が \[ {a_{s}}^2+{a_{s+1}}^2+{a_{s+2}}^2+{a_{s+3}}^2+{a_{s+4}}^2+{a_{s+5}}^2={a_{s+6}}^2+{a_{s+7}}^2+{a_{s+8}}^2+{a_{s+9}}^2+{a_{s+10}}^2 \] を満たすとき,$a_{s+5}$の値は$\fbox{}$である.
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