福井大学
2016年 医学部 第3問
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一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$があり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を満たすように点$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$をとる.$0<x<1$を満たす実数$x$に対し,線分$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$,直線$\mathrm{PC}$と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$,直線$\mathrm{QD}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を,$x,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を,$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3) 直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき,$x$の値を求めよ.
(4) $x$を$(3)$で求めた値とする.$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$,$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$のとき,$\mathrm{PQ}^2$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を,$x,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を,$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3) 直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき,$x$の値を求めよ.
(4) $x$を$(3)$で求めた値とする.$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$,$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$のとき,$\mathrm{PQ}^2$の値を求めよ.
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