福井大学
2016年 工学部 第4問
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![複素数zは,以下に述べる規則(i),(ii)にしたがって,1秒ごとに値が変化していくものとする.ただし,iを虚数単位として,α=cosπ/3+isinπ/3とおき,n=0,1,2,・・・について,時刻n秒でのzの値をz_nとおく.\setlength{skip}{6mm}(i)z_0=1とする.(ii)zの値は,時刻n+1秒において,確率1/2でz_{n+1}=αz_nに,確率1/2でz_{n+1}=α^{-1}z_nに変化する.m=1,2,3,・・・について,z_{2m}=α^2となる確率をp_m,z_{2m}=1となる確率をq_mとおくとき,以下の問いに答えよ.(1)z_{2m}=-1となる確率を求めよ.(2)q_mを,p_mを用いて表せ.(3)p_mを求めよ.(4)z_n=1となる確率を求めよ.](./thumb/366/2547/2016_4.png)
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複素数$z$は,以下に述べる規則$\tokeiichi,\ \tokeini$にしたがって,$1$秒ごとに値が変化していくものとする.ただし,$i$を虚数単位として,$\displaystyle \alpha=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}$とおき,$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$について,時刻$n$秒での$z$の値を$z_n$とおく.
\setlength{\leftskip}{6mm}
(ⅰ) $z_0=1$とする.
(ⅱ) $z$の値は,時刻$n+1$秒において,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha z_n$に,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha^{-1}z_n$に変化する.
$m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について,$z_{2m}=\alpha^2$となる確率を$p_m$,$z_{2m}=1$となる確率を$q_m$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1) $z_{2m}=-1$となる確率を求めよ.
(2) $q_m$を,$p_m$を用いて表せ.
(3) $p_m$を求めよ.
(4) $z_n=1$となる確率を求めよ.
\setlength{\leftskip}{6mm}
(ⅰ) $z_0=1$とする.
(ⅱ) $z$の値は,時刻$n+1$秒において,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha z_n$に,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha^{-1}z_n$に変化する.
$m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について,$z_{2m}=\alpha^2$となる確率を$p_m$,$z_{2m}=1$となる確率を$q_m$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1) $z_{2m}=-1$となる確率を求めよ.
(2) $q_m$を,$p_m$を用いて表せ.
(3) $p_m$を求めよ.
(4) $z_n=1$となる確率を求めよ.
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