上智大学
2014年 文(哲),総合(教育),外国語(ドイツ、ポルトガル) 第2問
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座標平面において,放物線$C:y=-x^2+3x$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$で囲まれた領域を$S$とする.ただし,$S$は境界線を含むものとする.
(1) $C$と$\ell$の共有点は,原点$\mathrm{O}$と点$\displaystyle \left( \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}},\ \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \right)$である.
(2) 点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$を通り傾きが$a$の直線$m$が,領域$S$と共有点をもつとする.このとき,$a$の範囲は \[ \fbox{ツ} \leqq a \leqq \fbox{テ}+\fbox{ト} \sqrt{\fbox{ナ}} \] である.
(3) $a=\fbox{テ}+\fbox{ト} \sqrt{\fbox{ナ}}$のとき,直線$m$と領域$S$の共有点を$\mathrm{Q}$とすると,$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\fbox{ニ}+\sqrt{\fbox{ヌ}}$である.
(4) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\fbox{ネ}+\fbox{ノ} \sqrt{\fbox{ハ}}$である.
(5) 線分$\mathrm{OP}$,線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた図形の面積は \[ \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}+\frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}} \sqrt{\fbox{マ}} \] である.
(1) $C$と$\ell$の共有点は,原点$\mathrm{O}$と点$\displaystyle \left( \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}},\ \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}} \right)$である.
(2) 点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$を通り傾きが$a$の直線$m$が,領域$S$と共有点をもつとする.このとき,$a$の範囲は \[ \fbox{ツ} \leqq a \leqq \fbox{テ}+\fbox{ト} \sqrt{\fbox{ナ}} \] である.
(3) $a=\fbox{テ}+\fbox{ト} \sqrt{\fbox{ナ}}$のとき,直線$m$と領域$S$の共有点を$\mathrm{Q}$とすると,$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\fbox{ニ}+\sqrt{\fbox{ヌ}}$である.
(4) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\fbox{ネ}+\fbox{ノ} \sqrt{\fbox{ハ}}$である.
(5) 線分$\mathrm{OP}$,線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた図形の面積は \[ \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}+\frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}} \sqrt{\fbox{マ}} \] である.
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