愛媛大学
2011年 農・工(環境建設)・教育・総合人間 第4問
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四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$,$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.
(1) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ.
(2) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$,$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ.
(3) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて,それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$,$(1,\ 2,\ 3)$,$(t,\ 1,\ 0)$,$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする.
(ⅰ) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ.
(ⅱ) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を表せ.
(2) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$,$\overrightarrow{\mathrm{SR}}$を表せ.
(3) 点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の座標が実数$t$を用いて,それぞれ$(0,\ 0,\ 0)$,$(1,\ 2,\ 3)$,$(t,\ 1,\ 0)$,$(2,\ t,\ 1)$で与えられているとする.
(ⅰ) 四角形$\mathrm{PQRS}$が長方形となるような$t$の値を求めよ.
(ⅱ) 四角形$\mathrm{PQRS}$がひし形となるような$t$の値を求めよ.
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