愛媛大学
2011年 理学部・工学部 第5問
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![関数f(x)=-xlogx-(1-x)log(1-x)(0<x<1)について次の問いに答えよ.ただし,必要ならば\lim_{x→+0}xlogx=0を使ってよい.(1)y=f(x)の増減,極値,グラフの凹凸,\lim_{x→+0}f(x),\lim_{x→1-0}f(x)を調べ,そのグラフをかけ.(2)定積分S(p)=∫_p^{1-p}f(x)dxを求めよ.ただし,0<p<1/2とする.(3)極限\lim_{p→+0}S(p)を求めよ.](./thumb/669/2883/2011_5.png)
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関数$f(x)=-x \log x-(1-x) \log (1-x) \ (0<x<1)$について次の問いに答えよ.ただし,必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$を使ってよい.
(1) $y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸,$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x),\ \lim_{x \to 1-0}f(x)$を調べ,そのグラフをかけ.
(2) 定積分$\displaystyle S(p)=\int_p^{1-p}f(x) \, dx$を求めよ.ただし,$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする.
(3) 極限$\displaystyle \lim_{p \to +0}S(p)$を求めよ.
(1) $y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸,$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x),\ \lim_{x \to 1-0}f(x)$を調べ,そのグラフをかけ.
(2) 定積分$\displaystyle S(p)=\int_p^{1-p}f(x) \, dx$を求めよ.ただし,$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする.
(3) 極限$\displaystyle \lim_{p \to +0}S(p)$を求めよ.
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