旭川医科大学
2014年 医学部 第2問
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$\displaystyle 0<a \leqq \frac{\pi}{2}$とし，曲線$y=1-\cos x \ \ (0 \leqq x \leqq a)$を$C$とする．$0<t<a$とし，原点と$C$上の点$(t,\ 1-\cos t)$を通る直線を$\ell$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) 曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を$S_1(t)$，$t \leqq x \leqq a$の範囲で$C$と$\ell$と直線$x=a$とで囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とおくとき，$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．
(2) $S_1(t)+S_2(t)$を最小とする$t$の値を$t_0$とするとき，$t_0$を$a$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle a-\frac{a^3}{3!}<\sin a<a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!} \ \ (a>0)$は用いてよい．
(1) 曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を$S_1(t)$，$t \leqq x \leqq a$の範囲で$C$と$\ell$と直線$x=a$とで囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とおくとき，$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．
(2) $S_1(t)+S_2(t)$を最小とする$t$の値を$t_0$とするとき，$t_0$を$a$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle a-\frac{a^3}{3!}<\sin a<a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!} \ \ (a>0)$は用いてよい．
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