明治大学
2016年 全学部(理工) 第4問
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次の空欄に当てはまるものを解答群の中から選べ.なお,解答群から同じものを二回以上選んでもよい.以下では,$\log$は自然対数,$e$はその底とする.
曲線$y=\log x$を$C$とする.$p,\ q,\ t$は実数であり,$e<p<q$を満たすとする.座標平面上に,次の$6$点,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ t)$,$\mathrm{P}(p,\ 0)$,$\mathrm{Q}(q,\ 0)$,$\mathrm{F}(p,\ \log p)$,$\mathrm{G}(q,\ \log q)$をとる.点$\mathrm{G}$における$C$の接線と$y$軸の交点を考え,その$y$座標を$t_1$とすると,$t_1=\fbox{ア}-1$である.直線$\mathrm{FG}$と$y$軸の交点の$y$座標を$t_2$とすると, \[ t_2=\frac{\fbox{イ}-\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \] である.
$t>t_1$のとき,曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{AF}$,$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積を$S$とする.台形$\mathrm{OQGA}$の面積を$U$,台形$\mathrm{OPFA}$の面積を$V$とおくと,
$\displaystyle S=U-V-\int_q^p \log x \, dx$
$\displaystyle \phantom{S}=\frac{1}{2} \left\{ (t+2) \left( \fbox{オ} \right)+\fbox{カ}-\fbox{キ} \right\}$
である.
次に,$t_2<t<t_1$と仮定する.曲線$C$と直線$\mathrm{AG}$の$2$つの共有点のうち,$\mathrm{G}$とは異なる点を$\mathrm{T}$とする.曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{AF}$,$\mathrm{AT}$で囲まれた図形の面積を$S_1$とする.曲線$C$と線分$\mathrm{TG}$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする.このとき,$S_1=S_2$となるための必要十分条件は, \[ t=\frac{\fbox{ク}-\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}-2 \] である.
アからコの解答群 \begin{center} \begin{tabular}{llllllllll} $\nagamarurei \ \ p$ & & $\nagamaruichi \ \ q$ & & $\nagamaruni \ \ p+q$ & & $\nagamarusan \ \ q-p$ & & $\nagamarushi \ \ \log p$ \\ $\nagamarugo \ \ \log q$ & & $\nagamaruroku \ \ p \log p$ & & $\nagamarushichi \ \ q \log p$ & & $\nagamaruhachi \ \ p \log q$ & & $\nagamarukyu \ \ q \log q$ \end{tabular} \end{center}
曲線$y=\log x$を$C$とする.$p,\ q,\ t$は実数であり,$e<p<q$を満たすとする.座標平面上に,次の$6$点,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ t)$,$\mathrm{P}(p,\ 0)$,$\mathrm{Q}(q,\ 0)$,$\mathrm{F}(p,\ \log p)$,$\mathrm{G}(q,\ \log q)$をとる.点$\mathrm{G}$における$C$の接線と$y$軸の交点を考え,その$y$座標を$t_1$とすると,$t_1=\fbox{ア}-1$である.直線$\mathrm{FG}$と$y$軸の交点の$y$座標を$t_2$とすると, \[ t_2=\frac{\fbox{イ}-\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \] である.
$t>t_1$のとき,曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{AF}$,$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積を$S$とする.台形$\mathrm{OQGA}$の面積を$U$,台形$\mathrm{OPFA}$の面積を$V$とおくと,
$\displaystyle S=U-V-\int_q^p \log x \, dx$
$\displaystyle \phantom{S}=\frac{1}{2} \left\{ (t+2) \left( \fbox{オ} \right)+\fbox{カ}-\fbox{キ} \right\}$
である.
次に,$t_2<t<t_1$と仮定する.曲線$C$と直線$\mathrm{AG}$の$2$つの共有点のうち,$\mathrm{G}$とは異なる点を$\mathrm{T}$とする.曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{AF}$,$\mathrm{AT}$で囲まれた図形の面積を$S_1$とする.曲線$C$と線分$\mathrm{TG}$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする.このとき,$S_1=S_2$となるための必要十分条件は, \[ t=\frac{\fbox{ク}-\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}-2 \] である.
アからコの解答群 \begin{center} \begin{tabular}{llllllllll} $\nagamarurei \ \ p$ & & $\nagamaruichi \ \ q$ & & $\nagamaruni \ \ p+q$ & & $\nagamarusan \ \ q-p$ & & $\nagamarushi \ \ \log p$ \\ $\nagamarugo \ \ \log q$ & & $\nagamaruroku \ \ p \log p$ & & $\nagamarushichi \ \ q \log p$ & & $\nagamaruhachi \ \ p \log q$ & & $\nagamarukyu \ \ q \log q$ \end{tabular} \end{center}
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