愛知県立大学
2014年 理系 第1問
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$1$から$5$までの$5$つの自然数のうち,いずれかの$1$つの数字が確率的に表示される$3$つの装置$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$がある.各装置$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$で数字$n \ \ (1 \leqq n \leqq 5)$が表示される確率をそれぞれ$P_{\mathrm{A}}(n)$,$P_{\mathrm{B}}(n)$,$P_{\mathrm{C}}(n)$とし,
\[ \sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{A}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{B}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{C}}(n)=1 \]
が成り立っている.$a,\ b,\ c,\ k$を実数とし,$f(n)={2}^{{-(n-3)}^2}$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $P_{\mathrm{A}}(n)=a \cdot f(n)$であるとき,装置$\mathrm{A}$で各数字が表示される確率と,表示される数字の期待値を求めよ.
(2) $P_{\mathrm{B}}(n)={2}^{-2n+5} \cdot b \cdot f(n)$であるとき,装置$\mathrm{B}$と$(1)$で確率を求めた装置$\mathrm{A}$の表示が,両方とも偶数である確率を求めよ.
(3) $P_{\mathrm{C}}(n)={2}^{-{n}^2+kn} \cdot c \cdot f(n)$であり,$(1)$の$P_{\mathrm{A}}(n)$が最大となるときの$n$を$m$とする.このとき,$P_{\mathrm{C}}(n)$が最大となる$n$と$m$が等しくなる$k$の範囲を求めよ.
(1) $P_{\mathrm{A}}(n)=a \cdot f(n)$であるとき,装置$\mathrm{A}$で各数字が表示される確率と,表示される数字の期待値を求めよ.
(2) $P_{\mathrm{B}}(n)={2}^{-2n+5} \cdot b \cdot f(n)$であるとき,装置$\mathrm{B}$と$(1)$で確率を求めた装置$\mathrm{A}$の表示が,両方とも偶数である確率を求めよ.
(3) $P_{\mathrm{C}}(n)={2}^{-{n}^2+kn} \cdot c \cdot f(n)$であり,$(1)$の$P_{\mathrm{A}}(n)$が最大となるときの$n$を$m$とする.このとき,$P_{\mathrm{C}}(n)$が最大となる$n$と$m$が等しくなる$k$の範囲を求めよ.
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