東京大学
2010年 理系 第4問
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$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線
\[ C:\quad y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}x^2+2} \]
と,その上の相異なる$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を考える.
(1) $\mathrm{P}_i \ (i=1,\ 2)$を通る$x$軸に平行な直線と,直線$y=x$との交点を,それぞれ$\mathrm{H}_i \ (i=1,\ 2)$とする.このとき$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{H}_1$と$\triangle \mathrm{OP}_2 \mathrm{H}_2$の面積は等しいこと示せ.
(2) $x_1<x_2$とする.このとき$C$の$x_1\leqq x\leqq x_2$の範囲にある部分と,線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{O}$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{O}$で囲まれる図形の面積を,$y_1$,$y_2$を用いて表せ.
(1) $\mathrm{P}_i \ (i=1,\ 2)$を通る$x$軸に平行な直線と,直線$y=x$との交点を,それぞれ$\mathrm{H}_i \ (i=1,\ 2)$とする.このとき$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{H}_1$と$\triangle \mathrm{OP}_2 \mathrm{H}_2$の面積は等しいこと示せ.
(2) $x_1<x_2$とする.このとき$C$の$x_1\leqq x\leqq x_2$の範囲にある部分と,線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{O}$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{O}$で囲まれる図形の面積を,$y_1$,$y_2$を用いて表せ.
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