自然数$n$に対して \[ S(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}x^{2k-2},\quad R(x)=\frac{(-1)^n x^{2n}}{1+x^2} \] とする．さらに$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 等式$\displaystyle \int_0^1 S(x) \, dx=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\frac{1}{2k-1}$が成り立つことを示せ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(3) 等式$S(x)=f(x)-R(x)$が成り立つことを示せ．
(4) 不等式$\displaystyle |\int_0^1 R(x) \, dx| \leqq \frac{1}{2n+1}$が成り立つことを示せ．
(5) 無限級数$\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$の和を求めよ．