埼玉大学
2010年 文系 第3問
3
![数列{a_n}が漸化式a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n,a_1=-1,a_2=3で定められているとする.p_n=a_{n+1}-a_n,q_n=a_{n+1}+2a_nとおく.(1)p_{n+1}=-2p_n,q_{n+1}=q_nとなることを示し,数列{p_n}の一般項と数列{q_n}の一般項を求めよ.(2)数列{a_n}の一般項を求めよ.(3)数列{b_n}は漸化式b_{n+2}=-b_{n+1}+2b_n+1,b_1=0,b_2=3で定められているとする.b_{n+1}-b_n=a_{n+1}となることを示し,数列{b_n}の一般項を求めよ.](./thumb/118/1354/2010_3.png)
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数列$\{a_n\}$が漸化式
\[ a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n,\ a_1=-1,\ a_2=3 \]
で定められているとする.$p_n=a_{n+1}-a_n,\ q_n=a_{n+1}+2a_n$とおく.
(1) $p_{n+1}=-2p_n,\ q_{n+1}=q_n$となることを示し,数列$\{p_n\}$の一般項と数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ.
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 数列$\{b_n\}$は漸化式 \[ b_{n+2}=-b_{n+1}+2b_n+1,\ b_1=0,\ b_2=3 \] で定められているとする.$b_{n+1}-b_n=a_{n+1}$となることを示し,数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(1) $p_{n+1}=-2p_n,\ q_{n+1}=q_n$となることを示し,数列$\{p_n\}$の一般項と数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ.
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 数列$\{b_n\}$は漸化式 \[ b_{n+2}=-b_{n+1}+2b_n+1,\ b_1=0,\ b_2=3 \] で定められているとする.$b_{n+1}-b_n=a_{n+1}$となることを示し,数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
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