信州大学
2012年 工学部 第4問
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$A=\left( \begin{array}{rr}
-2 & 6 \\
0 & 3
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & \displaystyle \frac{6}{5} \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(1) すべての自然数$n$に対して$P^{-1}A^nP=\left( \begin{array}{cc} (-2)^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{array} \right)$が成り立つことを示せ．
(2) 数列$\{a_n\}$を関係式$a_1=1,\ a_{n+1}=-2a_n+6 \cdot 3^{n-1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．このとき，すべての自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c} a_1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ 3^n \end{array} \right)$が成り立つことを示せ．
(3) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1) すべての自然数$n$に対して$P^{-1}A^nP=\left( \begin{array}{cc} (-2)^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{array} \right)$が成り立つことを示せ．
(2) 数列$\{a_n\}$を関係式$a_1=1,\ a_{n+1}=-2a_n+6 \cdot 3^{n-1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．このとき，すべての自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c} a_1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ 3^n \end{array} \right)$が成り立つことを示せ．
(3) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
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