信州大学
2014年 教育（理系） 第4問
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座標平面において，$C:y=e^{-x} \ \ (x>0)$上の点$(a,\ e^{-a})$の接線を$L$とおき，$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_1$とし，$y$軸，$L$，$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．
(1) $S_1,\ S_2$をそれぞれ求めよ．
(2) $a>0$のとき，$(a-1)e^a+1>0$であることを示せ．
(3) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a$の関数とみたとき，区間$(0,\ \infty)$で単調に増加することを示せ．
(1) $S_1,\ S_2$をそれぞれ求めよ．
(2) $a>0$のとき，$(a-1)e^a+1>0$であることを示せ．
(3) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a$の関数とみたとき，区間$(0,\ \infty)$で単調に増加することを示せ．
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