放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-1$上にない点$\mathrm{P}(a,\ b)$をとる．放物線$C$上の点$\mathrm{Q}$に対し直線$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{Q}$での$C$の接線と垂直に交わるとき，直線$\mathrm{PQ}$を$\mathrm{P}$から$C$への垂線という．点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$へ$3$本の異なる垂線が引けるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．