信州大学
2012年 理系 第5問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は次の条件をみたすものとする．
\begin{eqnarray}
a+d=1,\ & & A^2-A-2E=O \nonumber \\
& & (\text{ただし，}E \text{は単位行列で，}O \text{は零行列である．}) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問いに答えよ．
(1) 次の関係をみたす実数$x,\ y$は$x=y=0$に限ることを示せ． \[ xA+yE=O \]
(2) 自然数$n$に対し，$A^n$はある実数$x_n,\ y_n$を用いて，$A^n=x_n A+y_n E$の形で表せることを示し，数列$\{x_n-y_n\},\ \{2x_n+y_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 自然数$n$に対し，$A^n=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right)$とおく．$p_n+s_n$を求めよ．
(1) 次の関係をみたす実数$x,\ y$は$x=y=0$に限ることを示せ． \[ xA+yE=O \]
(2) 自然数$n$に対し，$A^n$はある実数$x_n,\ y_n$を用いて，$A^n=x_n A+y_n E$の形で表せることを示し，数列$\{x_n-y_n\},\ \{2x_n+y_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 自然数$n$に対し，$A^n=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right)$とおく．$p_n+s_n$を求めよ．
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