立教大学
2011年 文系 第2問
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袋に赤玉が$1$個,白玉が$2$個の合計$3$個の玉が入っている.袋から玉$1$個を取り出し,玉の色を確認し,また袋に戻す,という作業を$2$回行い,これを$1$回の試行と考える.この試行を使って,$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君の$2$人が以下のようなゲームをすることにした.
\begin{itemize}
取り出した玉の色の$1$番目が白,$2$番目が赤であれば,$\mathrm{A}$君が勝ち抜けとなり,
取り出した玉の色の$1$番目が赤,$2$番目が白であれば,$\mathrm{B}$君が勝ち抜けとなり,
取り出した玉の色が$2$回とも同じ色であれば,引き分けとし,試行を続ける. \end{itemize} また,どちらか$1$人が勝ち抜けた後も,同様に玉を$2$回出し入れする試行を続け,以下の場合にゲームを終了させることにした. \begin{itemize}
残った$1$人が$\mathrm{A}$君のとき,取り出した玉の色の$1$番目が白,$2$番目が赤である場合.
残った$1$人が$\mathrm{B}$君のとき,取り出した玉の色の$1$番目が赤,$2$番目が白である場合. \end{itemize} このとき,次の問に答えよ.
(1) $1$回目の試行で,$\mathrm{A}$君が勝ち抜ける確率,$\mathrm{B}$君が勝ち抜ける確率,引き分けになる確率をそれぞれ求めよ.
(2) $3$回目の試行でゲームが終了する確率を求めよ.
(3) $\mathrm{A}$君のほうが早く勝ち抜けし,その後,$n$回目の試行で$\mathrm{B}$君がゲームを終了させる確率を$n$を用いて表せ.ただし,$n \geqq 2$とし,$n$には$\mathrm{A}$君が勝ち抜けるまでの試行の回数も含むものとする.
取り出した玉の色の$1$番目が白,$2$番目が赤であれば,$\mathrm{A}$君が勝ち抜けとなり,
取り出した玉の色の$1$番目が赤,$2$番目が白であれば,$\mathrm{B}$君が勝ち抜けとなり,
取り出した玉の色が$2$回とも同じ色であれば,引き分けとし,試行を続ける. \end{itemize} また,どちらか$1$人が勝ち抜けた後も,同様に玉を$2$回出し入れする試行を続け,以下の場合にゲームを終了させることにした. \begin{itemize}
残った$1$人が$\mathrm{A}$君のとき,取り出した玉の色の$1$番目が白,$2$番目が赤である場合.
残った$1$人が$\mathrm{B}$君のとき,取り出した玉の色の$1$番目が赤,$2$番目が白である場合. \end{itemize} このとき,次の問に答えよ.
(1) $1$回目の試行で,$\mathrm{A}$君が勝ち抜ける確率,$\mathrm{B}$君が勝ち抜ける確率,引き分けになる確率をそれぞれ求めよ.
(2) $3$回目の試行でゲームが終了する確率を求めよ.
(3) $\mathrm{A}$君のほうが早く勝ち抜けし,その後,$n$回目の試行で$\mathrm{B}$君がゲームを終了させる確率を$n$を用いて表せ.ただし,$n \geqq 2$とし,$n$には$\mathrm{A}$君が勝ち抜けるまでの試行の回数も含むものとする.
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