山梨大学
2012年 工学部・生命環境(生命工) 第1問
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次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ.
(1) 関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは,すべての$x$で等式$\fbox{}$が成立することである.関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$\fbox{}$である.
(2) 実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき,無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は,$x$の値が$\fbox{}$以外のときであり,収束するときの無限級数の和は$\fbox{}$である.
(3) $\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=\fbox{}$であり,$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=\fbox{}$である.
(4) 楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち,$y$座標が大きい方の座標は$\fbox{}$である.この楕円の長軸の長さは$\fbox{}$である.
(5) 関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし,区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を,$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$,$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$,$\cdots$,$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする.各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる.$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において,長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき,この小区間での長方形の面積は$\fbox{}$となり,それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする.また,$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において,長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする.このとき,$S_n-s_n$は$\fbox{}$となる.
(1) 関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは,すべての$x$で等式$\fbox{}$が成立することである.関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$\fbox{}$である.
(2) 実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき,無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は,$x$の値が$\fbox{}$以外のときであり,収束するときの無限級数の和は$\fbox{}$である.
(3) $\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=\fbox{}$であり,$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=\fbox{}$である.
(4) 楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち,$y$座標が大きい方の座標は$\fbox{}$である.この楕円の長軸の長さは$\fbox{}$である.
(5) 関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし,区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を,$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$,$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$,$\cdots$,$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする.各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる.$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において,長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき,この小区間での長方形の面積は$\fbox{}$となり,それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする.また,$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において,長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする.このとき,$S_n-s_n$は$\fbox{}$となる.
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